如何通俗地「仿射变换」这个概念?

即时育儿 2020-05-23161未知admin

  简单讲一下旋转是怎么实现的,可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。

  这个很简单。你也可以把矩阵中的两个值弄成不一样的。那么如果你对一张图片操作的话,横竖两个方向上的缩放倍数不同图像就变形了。方的变成长方的。

  比如想把向量(1,0)逆时针旋转45度。旋转以后的向量和这个向量会构成一个三角形。旋转以后的是斜边,长度和原来向量长度一样。用勾股计算一下。三角形的顶点会变成(√2/2, √2/2)。这个看起来比较麻烦。但是如果你明白矩阵乘法是怎么算的,那很容易理解为什么一个旋转矩阵会是这样的:

  有些变换,比如反射。相当于你在第一种情况里面对角线上的两个值有一个是负的。那么对应的就会把这个轴翻转过去。别的都很好理解。

  但在二维坐标系内,用2x2的矩阵所不能表示的变换就是平移操作。你在所有的操作无非都是给向量的两个分量乘一个系数。没办法再加一个数。想要表达这种计算就得给你的矩阵变成这样:

  这样的话你的(x,y)向量就没法乘进去了。你可以在后面添个1,编程(x,y,1)这样的。那么变换以后的结果就是

  (xa1+yb1+c1,xa2+yb2+c2,1),去掉最后面的1,前面的就是线性变换加上一个平移变换的结果。

  因为线性变换不能表示平移,而仿射变换则可以。仿射变换指的是满足仿射组合的变换,详细的内容可以看这篇文章仿射空间与仿射变换

  然后数学家们总结出更通用的代数规律:线D变换:一张纸上的图形,拿远看,放近看。还可以放在旋转的桌子上看。或者2者都有

  楼下的各位“专业人士”从不同角度对仿射变换做了阐述,为了解释仿射又引入了线性等概念,但我可以肯定的说,10个人看了估计9个看不懂,1个似懂非懂,原因只有一个,楼下的解答都是“不识庐山真面目,只缘身在此山中”;如果想让人都能通过这个帖子了解数学,甚至喜欢上数学,必须要让他们登上山顶,一览众山小,我虽然不学数学很多年,但对数学基础还是有些记忆,我不画图、不引用数学符,不写公式,通俗易懂的谈一谈什么是几何?

  从可视到抽象,历史至今形成了诸多几何理论,根据不同分类原则,如按维数分有平面几何、立体几何、球面几何等,如按研究方法分有解析几何、微分几何、综合几何等,如按理论分有欧式几何,非欧几何,后来克莱因这个数学家提出:可以按照一个(点、线、面...)和其上的变换分类,通过研究不变性质和不变量就构成了(点、线、面...)对此变换的几何学:

  欧式几何的核心就是你小学学的点、线、面与线性变换,线性变换(来自代数)通俗讲比如1个点可以随便,1条直线个曲线个平面可以翻转等等,那什么不变呢?不变的就是点还是点,线还是线,面还是面,点变不成线,线变不成面,还有一个不变,就是坐标原点不变。

  仿射的核心就是平行投影和单比,平行投影通俗讲就好比切西瓜,一刀下去西瓜变两瓣,你可以横着切,竖着切,斜着切都行,切出来的西瓜边沿各式各样、这个边沿就是平行投影,那什么不变呢?单比不变,单比通俗讲就是两瓣西瓜还可以沿着边沿拼起来。

  射影的核心就是中心投影和交比,中心投影通俗讲就是你在太阳下拿着的一头,另外一头落在地上,和地上的影子就是中心投影,保持的一头落在地面上,你随便用手晃悠另外一头,拖着走也好,在手里转也好,影子也发生变化,那什么不变呢?交比不变,交比通俗讲就是上点之间比值和对应的影子上点之间比值相等。

  还有一个几何叫非欧几何,通俗讲就是不属于欧式几何的意思,欧式几何中有个平行,意思是平行线没有交点,后来发现这个证明不出来,既然证明不出来,就说明可能还有别的几何学,于是黎曼这个数学家就假设平行线有一个交点,就有了黎曼几何,罗巴切夫斯基这个数学家假设平行线有两个交点,就有了罗氏几何。后来知道了欧式几何是曲率为零的空间,在这里三角形内角和等于180度,黎曼几何是曲率为正的空间,在这里三角形内角和大于180度,罗氏几何是曲率为负的空间,在这里三角形内角和小于180度,非欧几何的出现打破了只有欧式几何是唯一空间的说法,丰富了空间的多样性,后来用于,什么引力弯曲啊、黑洞啊、演化啊,比欧式几何更适合解释时空的各种性质。

  目前,所有的几何学就是我讲的这些!!!!!!!!!!!!!!!!!!

  补充:我突然在思考为什么平行线个以点,如果我思考成熟了,我打算发表一个目前所有几何的理论,名字我都想好了叫“终极几何”。

  仿射变换(Affine Transfortion)是空间直角坐标系的变换,从一个二维坐标变换到另一个二维坐标,仿射变换是一个线性变换,他保持了图像的“平行性”和“平直性”,即图像中原来的直线和平行线,变换后仍然保持原来的直线和平行线,仿射变换比较常用的特殊变换有平移(Translation)、缩放(Scale)、翻转(Flip)、旋转(Rotation)和剪切(Shear)。

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